Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+4A（1，﹣1），B（5，﹣1），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）如圖1，連接CB，若點P在直線BC上方的拋物線上，△BCP的面積為15，求點P的坐標；
（3）如圖2，⊙O1過點A、B、C三點，AE為直徑，點M為弧ACE上的一動點（不與點A，E重合），∠MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于N，求線段BN長度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A、B的坐標代入拋物線的解析式得： ，

解得： ．

∴拋物線得解析式為y=x2﹣6x+4

（2）解：如圖所示：

設點P的坐標為P（m，m2﹣6m+4）

∵S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD，

∴ m（5+m2﹣6m+4+1）﹣ ×5×5﹣ （m﹣5）（m2﹣6m+5）=15，

化簡得：m2﹣5m﹣6=0，

解得：m=6，或m=﹣1，

∴點P的坐標為（6，4）或（﹣1，11）

（3）解：連接AB、EB，

∵AE是圓的直徑，

∴∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠MBN，

又∵∠EAB=∠EMB，

∴△EAB∽△NMB，

∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），

∴點O1的橫坐標為3，

將x=0代入拋物線的解析式得：y=4，

∴點C的坐標為（0，4），

設點O1的坐標為（3，m），

∵O1C=O1A，

∵OC=4，O1到OC的距離=3，

∴⊙O1的半徑= ，

∴ = ，

解得：m=2，

∴點O1的坐標為（3，2），

∴O1A= ，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE= = =6，

∴點E的坐標為（5，5），

∴AB=4，BE=6，

∵△EAB∽△NMB，

∴ = ，

∴ = ，

∴NB= BM，

∴當MB為直徑時，MB最大，此時NB最大，

∴MB=AE=2 ，

∴NB= ×2 =3

【解析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式，得到關于a、b的方程，從而可求得a、b的值；（2）設點P的坐標為P（m，m2﹣6m+4），根據S△CBP=15，由S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD ， 得到關于m的方程求得m的值，從而可求得點P的坐標；（3）首先證明△EAB∽△NMB，從而可得到NB= ，當MB為圓的直徑時，NB有最大值．