Question

【題目】如圖，拋物線與軸分別交于，兩點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）在第二象限內取一點，作垂直軸于點，連結，且，．將沿軸向右平移個單位，當點落在拋物線上時，求的值；

（3）在（2）的條件下，當點第一次落在拋物線上時記為點，點是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值為7或9；（3）存在，點的坐標為或或

【解析】

（1）用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）先求出點C的坐標，然后根據平移后C點的縱坐標不變，將縱坐標代入拋物線的表達式中求出C平移后的橫坐標，根據平移的規律即可得到m的值；

（3）根據第（2）問的結果可知，E點的坐標為（1，8），然后求出拋物線的對稱軸，設出P的坐標，然后分兩種情況：當為平行四邊形的邊時和當為平行四邊形的對角線時，分別進行討論即可．當為平行四邊形的邊時,先證明，則有，即可求出Q點橫坐標與對稱軸之間的距離，從而建立方程求出Q的橫坐標，代入拋物線表達式中即可求出縱坐標；當為平行四邊形的對角線時，利用線段的中點坐標即可求出Q的橫坐標，然后代入拋物線表達式中即可求出縱坐標 ．

解：（1）把，代入

得解得

∴拋物線的解表達式是．

（2）∵，且，

∴，且，

∴．

設平移后的點的對應點為，則點的縱坐標為8．

代入拋物線解析式可得，解得或，

∴點的坐標為或．

∵，

∴當點落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位．

∴的值為7或9．

（3）∵，

∴拋物線對稱軸為．

∴設．

由（2）可知點坐標為．

①當為平行四邊形的邊時，連接交對稱軸于點，過作軸于點，過作對稱軸的垂線，垂足為，如圖，

則，

∵四邊形是平行四邊形,

∴ ,

在和中

∴，

∴，

設，則，

∴，解得或，

當或時，代入拋物線解析式可求得，

∴點坐標為或；

②當為對角線時，

∵，，

∴線段的中點坐標為，則線段的中點坐標為，

設，且，

∴，解得，把代入拋物線解析式可求得，

∴；

綜上可知點的坐標為或或．