Question

【題目】已知二次函數y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的圖象經過（m＋1，a），（m，b）兩點.

（1）若m＝1，a＝－1，求該二次函數的解析式；

（2）求證：am＋b＝0；

（3）若該二次函數的最大值為，當x＝1時，y≥3a，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋x＋1；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（2）把m＝1，a＝－1代入（m＋1，a），（m，b）得(2，－1)，(1，b)，把(2，－1)，(1，b)代入函數解析式，進行解方程組即可；

（2）把（m＋1，a），（m，b）代入函數解析式，得到方程組，將方程組進行整理即可；

（3）由（2）得的方程組可得：c＝b＝-am．即可得出拋物線解析式為：y＝ax2-amx-am．當x＝1時，得到不等式：a-am-am≥3a，解得 m≥－1． 利用最值得到方程，整理得：．將c＝b＝-am代入，解得：＝＝．進行解答即可．

解：（1）若m＝1，a＝-1，則拋物線y＝－x2＋bx＋c過 (2，-1)，(1，b) 兩點，

∴

解得

∴這個二次函數的解析式為y＝-x2＋x＋1．

（2）∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經過（m＋1，a），（m，b）兩點，

∴

①-②，得 2am＋a＋b＝a-b．

整理，得 am＋b＝0；

（3）由（2）得，b＝-am，代入②，得c＝b＝-am．

∴y＝ax2-amx-am．

∵當x＝1時，y≥3a，

∴a-am-am≥3a，即-2am≥2a，

∵a＜0，∴m≥-1．

∵該二次函數的最大值為，

∴，即．③

將c＝b＝-am代入③，得，

∴＝＝．

∵m≥-1，

∴≥-3，

∵a＜0

∴a≤．