Question

【題目】數學問題：計算（其中m，n都是正整數，且m≥2，n≥1）．

探究問題：為解決上面的數學問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．

探究一：計算．

第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為+；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，…；

…

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．

根據第n次分割圖可得等式： +++…+=1﹣．

探究二：計算+++…+．

第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，陰影部分的面積之和為+；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，…；

…

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．

根據第n次分割圖可得等式： +++…+=1﹣，

兩邊同除以2，得+++…+=﹣．

探究三：計算+++…+．

（仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程）

解決問題：計算+++…+．

（只需畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空）

根據第n次分割圖可得等式：_________，

所以， +++…+=________．

拓廣應用：計算 +++…+．

Answer 1

【答案】

【解析】

探究三：根據探究二的分割方法依次進行分割，然后表示出陰影部分的面積，再除以3即可；

解決問題：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出陰影部分的面積及，再除以（m-1）即可得解；

拓廣應用：先把每一個分數分成1減去一個分數，然后應用公式進行計算即可得解．

探究三：第1次分割，把正方形的面積四等分，

其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，

陰影部分的面積之和為；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，

…，

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后四等分，

所有陰影部分的面積之和為：，

最后的空白部分的面積是，

根據第n次分割圖可得等式：=1﹣，

兩邊同除以3，得=；

解決問題：=1﹣，

=；

故答案為：=1﹣，；

拓廣應用：，

=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，

=n﹣（+++…+），

=n﹣（﹣），

=n﹣+．