Question

【題目】如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED=∠C．

（1）求證：PE是⊙O的切線；

（2）求證：ED平分∠BEP.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）連接OE，如圖，利用圓周角定理得到∠CED=90°，即∠CEO+∠OED=90°，加上∠C=∠CEO，∠PED=∠C．則∠PED+∠OED=90°，即∠OEP=90°，然后根據切線的性質定理可判定PE是 O的切線；

（2）利用圓周角定理得到∠AEB=90°，再利用AE∥CD得到∠EFD=90°，接著利用等角的余角相等可判斷∠FED=∠C，所以∠PED=∠FED．

詳解：證明：(1)連接OE，如圖，

∵CD為直徑，

∴∠CED=90°,即∠CEO+∠OED=90°，

∵OC=OE,

∴∠C=∠CEO，

∴∠C+∠OED=90°，

∵∠PED=∠C.

∴∠PED+∠OED=90°,即∠OEP=90°，

∴OE⊥PE，

∴PE是O的切線；

(2)∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

而AE∥CD，

∴∠EFD=90°，

∴∠FED+∠EDF=90°，

而∠C+∠EDC=90°，

∴∠FED=∠C，

∴∠PED=∠FED，

∴ED平分∠BEP.