Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF．

(1) 證明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；

(2) 若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；

(3) 在(2)的條件下，試確定E點的位置，使∠EFD=∠BCD，并說明理由．

 

 

Answer 1

【解析】
(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC．

∴∠BAC =∠DAC．

∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．

∴△ABF≌△ADF．

∴∠AFB=∠AFD．

又∵∠CFE =∠AFB，

∴∠AFD=∠CFE．

∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．

(2) ∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD．

又∵∠BAC=∠DAC，

∴∠BAC=∠ACD．

∴∠DAC=∠ACD．

∴AD=CD，

∵AB=AD ， CB=CD，

∴AB=CB=CD=AD．

∴四邊形ABCD是菱形．

(3)當BE⊥CD時，∠EFD=∠BCD．理由：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．

又∵CF為公共邊，

∴△BCF≌△DCF．

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC =∠DEF=90°．

∴∠EFD =∠BCD．

 

【解析】

(1)利用已知條件和公共邊，證得△ABC≌△ADC，即可證明∠BAC=∠DAC；再證明△ABF≌△ADF，得到∠AFB=∠AFD，再利用對頂角相等，易知結論；(2)有平行線的性質和(1)中結論，易知∠DAC=∠ACD，所以AD=CD，進而證得AB=CB=CD=AD，即可證明結論；(3)當BE⊥CD時，有(2)可知BC=CD ，∠BCF=∠DCF，利用△BCF≌△DCF證得∠CBF=∠CDF，再利用等角的余角相等即可證明結論∠EFD =∠BCD．