Question

【題目】如圖乙，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點P為射線BD，CE的交點．

（1）如圖甲，將△ADE繞點A 旋轉，當C、D、E在同一條直線上時，連接BD、BE，則下列給出的四個結論中，其中正確的是_____．

①BD=CE②BD⊥CE③∠ACE+∠DBC=45°④BE2=2（AD2+AB2）

（2）若AB=4，AD=2，把△ADE繞點A旋轉，

①當∠EAC=90°時，求PB的長；

②求旋轉過程中線段PB長的最大值．

　　　　　

Answer 1

【答案】①②③

【解析】分析：（1）①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結論；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出結論；③由條件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出結論；④△BDE為直角三角形就可以得出BE=BD+DE，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE=2AD，BC=2AB，就有BC=BD+CD2≠BD就可以得出結論．（2）①分兩種情形a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB-AE=1．由△PEB∽△AEC，得，由此即可解決問題．b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE=3．解法類似．②如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在A上方與A相切時，PB的值最大．求出PB即可．

詳解：（1）解：如圖甲：

①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

AD=AF，∠BAD=∠CAE，AB=AC，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，∴①正確；

②∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE．

∵∠CAB=90°，

∴∠ABD+∠AFB=90°，

∴∠ACE+∠AFB=90°．

∵∠DFC=∠AFB，

∴∠ACE+∠DFC=90°，

∴∠FDC=90°．

∴BD⊥CE，∴②正確；

③∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ABD+∠DBC=45°．

∴∠ACE+∠DBC=45°，∴③正確；

④∵BD⊥CE，

∴BE2=BD2+DE2，

∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，

∴DE2=2AD2，BC2=2AB2，

∵BC2=BD2+CD2≠BD2，

∴2AB2=BD2+CD2≠BD2，

∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④錯誤．

故答案為①②③．

（2）①解：a、如圖2中，當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=2．

∵∠EAC=90°，

∴CE=，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴，

∴

∴PB=．

b、如圖中，當點E在BA延長線上時，BE=6．

∵∠EAC=90°，

∴CE=

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB=

綜上，PB=或．

②解：如圖中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．

理由：此時∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC=，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=2，

∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，

∴四邊形AEPD是矩形，

∴PD=AE=2，

∴PB=BD+PD=2+2．

綜上所述，PB長的最大值是2+2．