Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點的坐標為，直線經過點、.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點是直線上方拋物線上的一動點，求面積的最大值并求出此時點的坐標；

（3）過點的直線交直線于點，連接，當直線與直線的一個夾角等于的3倍時，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2），點坐標為；（3）點的坐標為，

【解析】

（1）利用B（5，0）用待定系數法求拋物線解析式；

（2）作PQ∥y軸交BC于Q，根據求解即可；

（3）作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，則∠A M1B=3∠ACB, 則 NAM1∽ A C M1,通過相似的性質來求點M1的坐標；作AD⊥BC于D,作M1關于AD的對稱點M2, 則∠A M2C=3∠ACB,根據對稱點坐標特點可求M2的坐標.

（1）把代入得

.

∴；

（2）作PQ∥y軸交BC于Q，設點，則

∵

∴OB=5，

∵Q在BC上，

∴Q的坐標為（x，x-5），

∴PQ==，

∴

=

=

∴當時，有最大值，最大值為，

∴點坐標為.

（3）如圖1，作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，則∠A M1B=3∠ACB,

∵∠CAN=∠NAM1,

∴AN=CN,

∵=-(x-1)(x-5),

∴A的坐標為（1，0），C的坐標為（0，-5），

設N的坐標為（a,a-5），則

∴，

∴a= ,

∴N的坐標為（,）,

∴AN2==，AC2=26，

∴，

∵∠NAM1=∠ACB，∠N M1A=∠C M1A，

∴ NAM1∽ A C M1,

∴,

∴,

設M1的坐標為（b,b-5），則

∴,

∴b1= ，b2=6(不合題意，舍去)，

∴M1的坐標為，

如圖2，作AD⊥BC于D,作M1關于AD的對稱點M2, 則∠A M2C=3∠ACB,

易知ADB是等腰直角三角形，可得點D的坐標是（3，-2），

∴M2 橫坐標= ，

M2 縱坐標= ，

∴M2 的坐標是，

綜上所述，點M的坐標是或.