Question

【題目】合與實踐﹣﹣探究圖形中角之間的等量關系及相關問題．

問題情境：

正方形ABCD中，點P是射線DB上的一個動點，過點C作CE⊥AP于點E，點Q與點P關于點E對稱，連接CQ，設∠DAP＝α(0°＜α＜135°)，∠QCE＝β．

初步探究：

(1)如圖1，為探究α與β的關系，勤思小組的同學畫出了0°＜α＜45°時的情形，射線AP與邊CD交于點F．他們得出此時α與β的關系是β＝2α．借助這一結論可得當點Q恰好落在線段BC的延長線上(如圖2)時，α＝　 　°，β＝　 　°；

深入探究：

(2)敏學小組的同學畫出45°＜α＜90°時的圖形如圖3，射線AP與邊BC交于點G．請猜想此時α與β之間的等量關系，并證明結論；

拓展延伸：

(3)請你借助圖4進一步探究：①當90°＜α＜135°時，α與β之間的等量關系為　 　；

②已知正方形邊長為2，在點P運動過程中，當α＝β時，PQ的長為　 　．

Answer 1

【答案】(1)30，60；(2)α與β的關系是β＝2(90°﹣α)；理由見解析；(3)①β＝2(α﹣90°)；②6﹣2．

【解析】

初步探究：（1）連接PC，由對稱的性質和等腰三角形的性質得出∠QCE=∠PCE，證明△ABP≌△CBP，得出∠BAP=∠BCP，由平行線得出∠CQE=∠DAP=α，證出α+β=90°①，再證出β=2α②，即可得出結果；

深入探究：（2）連接PC，由對稱的性質和等腰三角形的性質得出∠QCE=∠PCE，證明△ABP≌△CBP，得出∠BAP=∠BCP=∠BAD-∠DAP=90°-α，AP=CP，證出∠BAP=∠GCE，得出∠BCG=∠GCE=90°-α，即可得出結論；

拓展延伸：（3）①連接PC，證出∠PCE=∠QCE=β，證明△ABP≌△CBP，得出∠BAP=∠BCP=∠DAP-∠BAD=α-90°，證明∠BAP=∠BCH，得出∠BCP=∠BCH=∠BAP=α-90°，即可得出結論；

②分三種情況：

當0°＜α＜45°時，β=2α，不合題意；

當45°＜α＜90°時，β=2（90°-α），得出α=β=60°，作PM⊥AD于M，證出AM=AP，DM=PM=AM，設AM=x，則CP=AP=2x，DM=PM=x，得出方程，解得：x=，得出CP=AP=2x=2-2，在△PCQ中，求出CE=CP=-1，PE=CE=3-，得出PQ=2PE=6-2；

當90°＜α＜135°時，β=2（α-90°），得出α=β=180°，不合題意．

解：(1)連接PC，如圖2所示：

∵點Q與點P關于點E對稱，

∴EP＝EQ，

∵CE⊥AP，

∴CE垂直平分PQ，

∴CP＝CQ，

∴∠QCE＝∠PCE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，

在△ABP和△CBP中，，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴∠BAP＝∠BCP，

∵AD∥BC，

∴∠CQE＝∠DAP＝α，

∵CE⊥AP，

∴∠CQE+∠QCE＝90°，即α+β＝90°①，

∵∠CQE+∠BAP＝90°，

∴∠QCE＝∠BAP＝∠BCP，

∵∠BCP＝∠CQE+∠CPQ，

∴β＝2α②，

由①②得：α＝30°，β＝60°；

故答案為：30，60；

深入探究：

(2)α與β的關系是β＝2(90°﹣α)；理由如下：

連接PC，如圖3所示：

∵點Q與點P關于點E對稱，

∴EP＝EQ，

∵CE⊥AP，

∴CE垂直平分PQ，

∴CP＝CQ，

∴∠QCE＝∠PCE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，

在△ABP和△CBP中，，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴∠BAP＝∠BCP＝∠BAD﹣∠DAP＝90°﹣α，AP＝CP，

∵∠ABG＝∠CEG＝90°，

∴∠BAP+∠AGB＝90°，∠GCE+∠CGE＝90°，

∵∠AGB＝∠CGE，

∴∠BAP＝∠GCE，

∴∠BCG＝∠GCE＝90°﹣α，

∴∠QCE＝2∠GCE＝2(90°﹣α)，

即：β＝2(90°﹣α)；

拓展延伸：

(3)①當90°＜α＜135°時，α與β之間的等量關系為β＝2(α﹣90°)；理由如下：

連接PC，設CE交AB于點H，如圖4所示：

∵點Q與點P關于點E對稱，

∴EP＝EQ，

∵CE⊥AP，

∴CE垂直平分PQ，

∴CP＝CQ，

∴∠PCE＝∠QCE＝β，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，

∴∠ABP＝∠CBP，

在△ABP和△CBP中，，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴∠BAP＝∠BCP＝∠DAP﹣∠BAD＝α﹣90°，

∵∠AEH＝∠CBH＝90°，

∴∠BAP+∠AHE＝90°，∠BCH+∠BHC＝90°，

∵∠AHE＝∠CHB，

∴∠BAP＝∠BCH，

∴∠BCP＝∠BCH＝∠BAP＝α﹣90°，

∴∠QCE＝∠PCE＝2∠BCP＝2(α﹣90°)，

即：β＝2(α﹣90°)；

故答案為：β＝2(α﹣90°)；

②當0°＜α＜45°時，β＝2α，不合題意；

當45°＜α＜90°時，β＝2(90°﹣α)，

∵α＝β，

∴α＝β＝60°，

作PM⊥AD于M，如圖5所示：

∵∠APM＝90°﹣α＝30°，∠PDM＝45°，

∴AM＝AP，DM＝PM＝AM，

設AM＝x，則CP＝AP＝2x，DM＝PM＝x，

∵AD＝2，

∴x+x＝2，

解得：x＝﹣1，

∴CP＝AP＝2x＝2﹣，

∵∠PCQ＝2β＝120°，CP＝CQ，CE⊥AP，

∴∠CPE＝30°，PE＝QE，

∴CE＝CP＝﹣1，PE＝CE＝3﹣，

∴PQ＝2PE＝6﹣2；

當90°＜α＜135°時，β＝2(α﹣90°)，

∵α＝β，

∴α＝β＝180°，不合題意；

綜上所述，在點P運動過程中，當α＝β時，PQ的長為6﹣2；

故答案為：6﹣2．