Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，其中B（6，0），與y軸交于點C（0，8），點P是x軸上方的拋物線上一動點（不與點C重合）．

（1）求拋物線的表達式；
（2）過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E，點E關于直線PC的對稱點為E′，若點E′落在y軸上（不與點C重合），請判斷以P，C，E，E′為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點C（0，8），B（6，0）代入在拋物線y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，

所以拋物線的表達式為y=﹣ x2+ x+8

（2）

解：以P，C，E，E′為頂點的四邊形為菱形．理由如下：

∵E點和E′點關于直線PC對稱，

∴∠E′CP=∠ECP，E′C=CE，E′P=EP，

又∵PD⊥x軸，

∴PE∥E′C，

∴∠EPC=∠E′CP，

∴∠EPC=∠ECP，

∴EP=EC，

∴EC=EP=PE′=E′C，

∴四邊形EPE′C為菱形

（3）

解：設直線BC的解析式為y=kx+m，

把B（6，0），C（0，8）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+8；

設P（x，﹣ x2+ x+8），則E（x，﹣ x+8），

∴PE=﹣ x2+ x+8﹣（﹣ x+8）=﹣ x2+4x，

過點E作EF⊥y軸于點F，如圖，

在Rt△OBC中，BC= =10，

∵EF∥OB，

∴△CFE∽△COB，

∴ = ，即 = ，

∴CE= x，

∵EC=EP，

∴﹣ x2+4x= x，

整理得2x2﹣7x=0，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴點P的坐標為（ ， ）．

【解析】（1）利用待定系數法求二次函數解析式；（2）利用對稱的性質得∠E′CP=∠ECP，E′C=CE，E′P=EP，由PE∥E′C得∠EPC=∠E′CP，則∠EPC=∠ECP，于是可判斷EP=EC，所以EC=EP=PE′=E′C，則根據菱形的判定方法得到四邊形EPE′C為菱形；（3）先利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=﹣ x+8，根據二次函數和一次函數圖象上點的坐標特征，設P（x，﹣ x2+ x+8），則E（x，﹣ x+8），則可計算出PE=﹣ x2+ x+8﹣（﹣ x+8）=﹣ x2+4x，過點E作EF⊥y軸于點F，如圖，證明△CFE∽△COB，利用相似比可計算出CE= x，則可利用EC=EP得到方程﹣ x2+4x= x，然后解方程求出x即可得到P點坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．