Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且橫縱坐標(biāo)相等(原點(diǎn)除外)，為拋物線上一動點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，并與直線交于點(diǎn).

(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上方時(shí)，過作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)，求周長的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)周長的最大值為，點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，0），軸,得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出當(dāng)取最大值時(shí)，周長最大， PC即可用含a的代數(shù)式表示出來，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題

解：(1)令，則，

解得，，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，把代入得，

，

解得，(舍去)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(2)如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴，

∴，

∴.

∵軸，

∴是等腰直角三角形，

∴當(dāng)取最大值時(shí)，周長最大.

∵與線段相交，

∴.

由可知，拋物線的對稱軸為直線，在對稱軸左側(cè)隨的增大而增大.

∴當(dāng)時(shí)，最大，的最大值為

∴，，

∴的周長為.

∴周長的最大值為，

把代入的坐標(biāo)，得

∴點(diǎn)坐標(biāo)為.