Question

【題目】【發現證明】如圖1，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，試判斷BE，EF，FD之間的數量關系．

小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，通過證明△AEF≌△AGF；從而發現并證明了EF=BE+FD．
（1）【類比引申】如圖2，點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，請根據小聰的發現給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數量關系，并證明；

（2）【聯想拓展】如圖3，如圖，∠BAC=90°，AB=AC，點E、F在邊BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：DF=EF+BE．

理由：如圖1所示，

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，

∵∠ADC=∠ABE=90°，

∴點C、D、G在一條直線上，

∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，

∵∠BAG+∠GAD=90°，

∴∠EAG=∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△EAF≌△GAF，

∴EF=FG，

∵FD=FG+DG，

∴DF=EF+BE

（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴將△ABE繞點A順時針旋轉90°得△ACG，連接FG，如圖2，

∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，

∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，

∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

又∵∠EAF=45°，

而∠EAG=90°，

∴∠GAF=90°﹣45°，

在△AGF與△AEF中，

，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF=FG，

∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，

∴CF=4．

【解析】（1）根據旋轉的性質和正方形的性質，得到EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，由已知條件得到△EAF≌△GAF，根據全等三角形的對應邊相等，得到EF=FG，從而得到DF=EF+BE；（2）根據旋轉的性質和勾股定理，得到△AEF≌△AGF，根據全等三角形的對應邊相等，得到EF=FG，求出CF的長．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質和旋轉的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．