Question

【題目】在綜合與實踐課上，同學們以“一個含的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數學活動，如圖，已知兩直線且和直角三角形，，，.

操作發現：

（1）在如圖1中，，求的度數；

（2）如圖2，創新小組的同學把直線向上平移，并把的位置改變，發現，說明理由；

實踐探究：

（3）縝密小組在創新小組發現結論的基礎上，將如圖中的圖形繼續變化得到如圖，平分，此時發現與又存在新的數量關系，請直接寫出與的數量關系.

Answer 1

【答案】操作發現：（1）；（2）見解析；實踐探究：（3）.

【解析】

(1)如圖1，根據平角定義先求出∠3的度數，再根據兩直線平行，同位角相等即可得；

(2)如圖2，過點B作BD//a，則有∠2+∠ABD=180°，根據已知條件可得∠ABD =60°-∠1，繼而可得∠2+60°-∠1=180°，即可求得結論；

(3)∠1=∠2，如圖3，過點C作CD//a，由已知可得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，根據平行線的性質可得∠BCD=∠2，繼而可求得∠1=∠BAM=60°，再根據∠BCD=∠BCA-∠DCA求得∠BCD=60°，即可求得∠1=∠2.

(1)如圖1，

∵∠BCA=90°，∠1=46°，

∴∠3=180°-∠BCA-∠1=44°，

∵a//b，

∴∠2=∠3=44°；

(2)理由如下：如圖2，過點B作BD//a，

∴∠2+∠ABD=180°，

∵a//b，

∴b//BD，

∴∠1=∠DBC，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，

∴∠2+60°-∠1=180°，

∴∠2-∠1=120°；

(3)∠1=∠2，理由如下：如圖3，過點C作CD//a，

∵AC平分∠BAM，

∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=2×30°=60°，

∵CD//a，

∴∠BCD=∠2，

∵a//b，

∴∠1=∠BAM=60°，b//CD，

∴∠DCA=∠CAM=30°，

∵∠BCD=∠BCA-∠DCA，

∴∠BCD=90°-30°=60°，

∴∠2=60°，

∴∠1=∠2.