Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B（A在B的左側），拋物線的對稱軸為直線x=1，AB=4．
（1）求拋物線的表達式；
（2）拋物線上有兩點M（x1 ， y1）和N（x2 ， y2），若x1＜1，x2＞1，x1+x2＞2，試判斷y1與y2的大小，并說明理由；
（3）直線l過A及C（0，﹣2），P為拋物線上一點（在x軸上方），過P作PD∥y軸交直線AC于點D，以PD為直徑作⊙E，求⊙E在直線AC上截得的線段的最大長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線 y=﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，AB=4．

∴點 A（﹣1，0），點B（3，0）．

∴拋物線的表達式為y=﹣（x+1）（ x﹣3）

∴y=﹣x2+2x+3

（2）解：如圖，

∵點M（x1，y1）和N（x2，y2）在拋物線上，

且x1＜1，x2＞1，

∴點M在直線x=1的左側，點N在直線x=1的右側．

∵x1+x2＞2，

∴1﹣x1＜x2﹣1，

∴點M到直線x=1的距離比點N到直線x=1的距離近，

∴y1＞y2

（3）解：∵OA=﹣1，OC=﹣2，

∴AC= ，

∵PD∥OC，

∴∠OCA=∠PDF，

∵PD是直徑，

∵∠PFD=∠AOC=90°，

∴△AOC∽△PFD，

∴ = = ，

∴DF= PD，

設AC的解析式為y=kx+b，把A（0．﹣1），C（0，﹣2）代入得： ，

，

∴y=﹣2x﹣2，

設D（x，﹣2x﹣2），P（x，﹣x2+2x+3），

∴PD=﹣x2+2x+3+2x+2=﹣x2+4x+5，

∴DF= PD= ×（﹣x2+4x+5）=﹣ （x﹣2）2+ ，

∴當x=2時，DF最大= = ．

【解析】（1）先根據拋物線和x軸的交點及線段的長，求出拋物線的解析式；（2）根據拋物線的解析式判斷出點M，N的大概位置，再關鍵點M，N的橫坐標的范圍即可得出結論．（3）先判斷出∠OCA=∠PDF進而得出△AOC∽△PFD，得出DF= PD，最后建立DF= PD= ×（﹣x2+ x+5），即可得出結論．