Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC中，E是線段AC上一點，F是BC延長線上一點．連接BE，AF．點G是線段BE的中點，BN∥AC，BN與AG延長線交于點N．

（1）若∠BAN＝15°，求∠N；

（2）若AE＝CF，求證：2AG＝AF．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）見解析

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可知∠ABC＝∠ACB＝60°，由平行線的性質可知∠NBC＝60°，進一步求出∠ABN＝120°，再由三角形內角和定理即可求出∠N的度數；

（2）先證△NBG≌△AEG，得到AG＝NG，AE＝BN，再證△ABN≌△ACF，即可推出AF＝2AG．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵AC∥BN，

∴∠NBC＝∠ACB＝60°，

∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，

∴在△ABN中，

∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；

（2）∵AC∥BN，

∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，

又∵點G是線段BE的中點，

∴BG＝EG，

∴△NBG≌△AEG（AAS），

∴AG＝NG，AE＝BN，

∵AE＝CF，

∴BN＝CF，

∵∠ACB＝60°，

∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，

∴∠ABN＝∠ACF，

又∵AB＝AC，

∴△ABN≌△ACF（SAS），

∴AF＝AN，

∵AG＝NG＝AN，

∴AF＝2AG．