Question

【題目】如圖，矩形的對角線， 相交于點， 關于的對稱圖形為．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接，若， ．

①求的值；

②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達點后停止運動．當點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）① ；②和 走完全程所需時間為 .

【解析】試題分析：（1）利用四邊相等的四邊形是菱形進行證明即可；

（2）①構造直角三角形求即可；

②先確定點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時的位置，再計算運到的時間.

試題解析：（1） 四邊形 是矩形， ，

與 交于點O,且 關于 對稱，

，

，

四邊形 是菱形；

（2）①連接 ,直線 分別交 于點 ,交 于點 ，

關于 的對稱圖形為 ，

，

在矩形 中， 為 的中點，且O為AC的中點，

為 的中位線 ， ，

同理可得： 為 的中點， ，

，

；

②過點P作 交 于點 ，

由 運動到 所需的時間為3s，

由①可得， ，

點O以 的速度從P到A所需的時間等于以 從M運動到A，

即： ，

由O運動到P所需的時間就是OP+MA和最小.

如下圖，當P運動到 ,即 時，所用時間最短.

，

在 中，設， ，

，

解得： ， ，

和 走完全程所需時間為.