Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C,直線y=x+6經過A、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第二象限拋物線上的一個動點，過點P作PQ∥AC,PQ交直線BC于點Q，設點P的橫坐標為t，點Q的橫坐標為m,求m與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，作點P關于直線AC的對稱點點K,連接QK,當點K落在直線y=-x上時，求線段QK的長.

Answer 1

【答案】(1) y=-x2-x+6；（2）m=t2+t；（3）.

【解析】試題分析:(1)先根據一次函數求出A,C點坐標,然后把A,C代入二次函數解析式解方程組即可求出二次函數解析式,(2)根據PQ∥AC,求可得PQ所在直線解析式中的k,根據P點坐標可表示PQ的直線解析式,然后再聯立PQ和BC即可求解,(3)先根據點P關于直線AC的對稱點K,根據中點坐標公式表示出點K,然后代入直線y=－x,可求出點K,然后根據兩點間距離公式可求解QK.

試題解析:(1) 因為直線y=x+6經過A,C兩點,

所以A(－6,0),C(0,6),

因為拋物線y=x2+bx+c經過A,C兩點,把A(－6,0),C(0,6)代入可得:

,

解得: ,

所以二次函數解析式為: ,

(2)因為P點在拋物線上,所以P點坐標是(t, ),Q點在直線BC上,

設直線BC的解析式為y=kx+b,根據題意可得:

,解得: ,

所以直線BC的解析式為: y=－2x+6,

因為PQ∥AC,

所以可得為: 解得: ,

所以直線PQ的直線解析式為: y=x+,

將直線PQ和直線BC聯立可求得Q的橫坐標:

－2x+6= x+,

－3x=,

x= ,

所以m= ,

(3)根據題意可得:直線QK于直線AC垂直,可得:

,解得:

所以直線QK的解析式為: y=－x+,

聯立直線QK和直線AC,可求得兩直線的交點橫坐標:

－x+= x+6,

解得: x=,

所以交點縱坐標為: y=,

根據中點坐標公式可得K的坐標為(,),

因為K在y=－x上,

所以,解得:

因為Q的坐標為(,), K的坐標為(,),

根據兩點之間距離公式可得:

QK==.

點睛:本題主要考查二次函數圖象性質,一次函數圖像性質,解決本題的關鍵是能夠用待定系數法求出一次函數解析式,并聯立二次函數解析式求函數的交點是解決本題的關鍵.