Question

【題目】已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB(或它們的反向延長線)相交于點D，E.

當三角板繞點C旋轉到CD與OA垂直時(如圖①)，易證：OD＋OE＝OC；

當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段OD，OE，OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

　　

Answer 1

【答案】圖②中OD＋OE＝OC成立．證明見解析;圖③不成立，有數量關系：OE－OD＝OC

【解析】試題分析：當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，易得△CKD≌△CHE，進而可得出證明；判斷出結果．解此題的關鍵是根據題意找到全等三角形或等價關系，進而得出OC與OD、OE的關系；最后轉化得到結論．

試題解析：圖②中OD＋OE＝OC成立．

證明：過點C分別作OA，OB的垂線，垂足分別為P，Q.

有△CPD≌△CQE，

∴DP＝EQ，

∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，

又∵OP＋OQ＝OC，

即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，

∴OD＋OE＝OC.

圖③不成立，

有數量關系：OE－OD＝OC

過點C分別作CK⊥OA，
CH⊥OB，
∵OC為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD與∠HCE都為旋轉角，
∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=OC，
∴OD，OE，OC滿足OE-OD=OC．