Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別是，現同時將點分別向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到的對應點.連接.

(1)寫出點的坐標并求出四邊形的面積.

(2)在軸上是否存在一點，使得的面積是面積的2倍？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)若點是直線上一個動點，連接，當點在直線上運動時，請直接寫出與的數量關系.

Answer 1

【答案】(1)點 ，點 ；12；(2)存在，點的坐標為和；(3) ∠OFC=∠FOB-∠FCD，見解析.

【解析】

（1）根據點平移的規律易得點C的坐標為（0，2），點D的坐標為（6，2）；

（2）設點E的坐標為（x，0），根據△DEC的面積是△DEB面積的2倍和三角形面積公式得到，解得x=1或x=7，然后寫出點E的坐標；

（3）分類討論：當點F在線段BD上，作FM∥AB，根據平行線的性質由MF∥AB得∠2=∠FOB，由CD∥AB得到CD∥MF，則∠1=∠FCD，所以∠OFC=∠FOB+∠FCD；同樣得到當點F在線段DB的延長線上，∠OFC=∠FCD-∠FOB；當點F在線段BD的延長線上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．

解：（1）∵點A，B的坐標分別是（-2，0），（4，0），現同時將點A、B分別向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度得到A，B的對應點C，D，

∴點C的坐標為（0，2），點D的坐標為（6，2）；

四邊形ABDC的面積=2×（4+2）=12；

（2）存在．

設點E的坐標為（x，0），

∵△DEC的面積是△DEB面積的2倍，

，解得x=1或x=7，

∴點E的坐標為（1，0）和（7，0）；

（3）當點F在線段BD上，作FM∥AB，如圖1，

∵MF∥AB，

∴∠2=∠FOB，

∵CD∥AB，

∴CD∥MF，

∴∠1=∠FCD，

∴∠OFC=∠1+∠2=∠FOB+∠FCD；

當點F在線段DB的延長線上，作FN∥AB，如圖2，

∵FN∥AB，

∴∠NFO=∠FOB，

∵CD∥AB，

∴CD∥FN，

∴∠NFC=∠FCD，

∴∠OFC=∠NFC-∠NFO=∠FCD-∠FOB；

同樣得到當點F在線段BD的延長線上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．