Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A（1，0），B（4，1），C（4，3），反比例函數y=的圖象經過點D，點P是一次函數y=mx+3﹣4m（m≠0）的圖象與該反比例函數圖象的一個公共點；

（1）求反比例函數的解析式；

（2）通過計算說明一次函數y=mx+3﹣4m的圖象一定過點C；

（3）對于一次函數y=mx+3﹣4m（m≠0），當y隨x的增大而增大時，確定點P的橫坐標的取值范圍，（不必寫過程）

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）C（4，3）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）由B（4，1），C（4，3）得到BC⊥x軸，BC=2，根據平行四邊形的性質得AD=BC=2，而A點坐標為（1，0），可得到點D的坐標為（1，2），然后把D（1，2）代入y=即可得到k=2，從而可確定反比例函數的解析式；
（2）把x=4代入y=mx+3﹣4m（m≠0）得到y=3，即可說明一次函數y=mx+3﹣4m（m≠0）的圖象一定過點C；
（3）設點P的橫坐標為x，由于一次函數y=mx+3﹣4m（m≠0）過C點，并且y隨x的增大而增大時，則P點的縱坐標要小于3，橫坐標要小于3，當縱坐標小于3時，由y=得到x＞，于是得到x的取值范圍．

試題解析：解：（1）∵B（4，1），C（4，3），

∴BC∥y軸，BC=2，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC=2，AD∥y軸，而A（1，0），

∴D（1，2），

∴由反比例函數y=的圖象經過點D，可得k=1×2=2，

∴反比例函數的解析式為y=；

（2）∵在一次函數y=mx+3﹣4m中，當x=4時，y=4m+3﹣4m=3，

∴一次函數y=mx+3﹣4m的圖象一定過點C（4，3）；

（3）點P的橫坐標的取值范圍：＜x＜4．

如圖所示，過C（4，3）作y軸的垂線，交雙曲線于E，作x軸的垂線，交雙曲線于F，

當y=3時，3=，即x=，

∴點E的橫坐標為；

由點C的橫坐標為4，可得F的橫坐標為4；

∵一次函數y=mx+3﹣4m的圖象一定過點C（4，3），且y隨x的增大而增大，

∴直線y=mx+3﹣4m與雙曲線的交點P落在EF之間的雙曲線上，

∴點P的橫坐標的取值范圍是＜x＜4．