Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．
（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結AP、OP、OA． ①求證：△OCP∽△PDA；
②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；

（2）若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求∠OAB的度數；
（3）如圖2， ，擦去折痕AO、線段OP，連結BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．

由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．

∴∠APO=90°．

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴ = = = = ．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．

∵AD=8，∴CP=4，BC=8．

設OP=x，則OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，

∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，

∴x2=（8﹣x）2+42．

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．

∴邊AB的長為10．

（2）解：如圖1，

∵P是CD邊的中點，

∴DP= DC．

∵DC=AB，AB=AP，

∴DP= AP．

∵∠D=90°，

∴sin∠DAP= = ．

∴∠DAP=30°．

∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，

∴∠OAB=30°．

∴∠OAB的度數為30°．

（3）解：作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ= PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，

∴BN=QM．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

．

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF= QB．

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB．

由（1）中的結論可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB= =4 ．

∴EF= PB=2 ．

∴在（1）的條件下，當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，長度為2 ．

【解析】（1）只需證明兩對對應角分別相等即可證到兩個三角形相似，然后根據相似三角形的性質求出PC長以及AP與OP的關系，然后在Rt△PCO中運用勾股定理求出OP長，從而求出AB長．（2）由DP= DC= AB= AP及∠D=90°，利用三角函數即可求出∠DAP的度數，進而求出∠OAB的度數．（3）由邊相等常常聯想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的位置很不協調，可通過作平行線構造全等，然后運用三角形全等及等腰三角形的性質即可推出EF是PB的一半，只需求出PB長就可以求出EF長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．