Question

【題目】我們知道平行四邊形那有很多性質，現在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發現這其中還有更多的結論
（1）【發現與證明】
在ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連接B′D．
結論1：B′D∥AC；
結論2：△AB′C與ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形．
…
請利用圖1證明結論1或結論2．
（2）【應用與探究】
在ABCD中，∠B=30°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連接B′D．
如圖1，若AB= ，∠AB′D=75°，則∠ACB= ， BC=；

（3）如圖2，AB=2 ，BC=1，AB′與CD相交于點E，求△AEC的面積；

（4）已知AB=2 ，當BC的長為多少時，△AB′D是直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

在ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連接B′D．

如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠ADC，

∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，

∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B，

∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC，

在△AB′C和△CAD中，

，

∴△AB′C≌△CAD（SAS），

∴∠ACB′=∠CAD，

設AD、B′C相交于E，

∴AE=CE，

∴△ACE是等腰三角形，

即△AB′C與ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形；

∵B′C=AD，AE=CE，

∴B′E=DE，

∴∠CB′D=∠ADB′，

∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD，

∴∠ADB′=∠DAC，

∴B′D∥AC；

（2）45°；
（3）

解：如圖2，

作CG⊥AB′于G，

∵∠B=30°，

∴∠AB′C=30°，

∴CG= B′C= BC= ，B′G= B′C= BC= ，

∵AB′=AB=2 ，

∴AG=2 ﹣ = ，

設AE=CE=x，則EG= ﹣x，

∵CG2+EG2=CE2，

∴（ ）2+（ ﹣x）2=x2，解得x= ，

∴AE= ，

∴△AEC的面積= AECG= × × = ；

（4）

解：如圖2，∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四邊形ACB′D是等腰梯形，

∵∠B=30°，

∴∠AB′C=∠CDA=30°，

∵△AB′D是直角三角形，

當∠B′AD=90°，AB＞BC時，

設∠ADB′=∠CB′D=y，

∴∠AB′D=y﹣30°，

∵∠AB′D+∠ADB′=90°，

∴y﹣30°+y=90°，解得y=60°，

∴∠AB′D=y﹣30°=30°，

∵AB′=AB=2 ，

∴AD= ×2 =2，

∴BC=2，

當∠ADB′=90°，AB＞BC時，如圖3，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四邊形ACB′D是等腰梯形，

∵∠ADB′=90°，

∴四邊形ACB′D是矩形，

∴∠ACB′=90°，

∴∠ACB=90°，

∵∠B=30°，AB=2 ，

∴BC= AB= ×2 =3；

當∠B′AD=90°AB＜BC時，如圖4，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，

∴∠B′GC=90°，

∵∠B=30°，AB=2 ，

∴∠AB′C=30°，

∴GC= B′C= BC，

∴G是BC的中點，

在RT△ABG中，BG= AB= ×2 =3，

∴BC=6；

當∠AB′D=90°時，如圖5，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四邊形ACDB′是等腰梯形，

∵∠AB′D=90°，

∴四邊形ACDB′是矩形，

∴∠BAC=90°，

∵∠B=30°，AB=2 ，

∴BC=AB÷ =2 × =4；

∴已知當BC的長為2或3或4或6時，△AB′D是直角三角形．

【解析】【發現與證明】通過三角形全等即可求得∠ACB′=∠CAD，即可得到結論2；進而根據等腰三角形的性質證得∠ADB′=∠DAC，根據平行線的判定即可證得結論1；【應用與探究】（1）根據對折的性質求得∠AB′C=30°，從而求得∠CB′D=45°，由于B′D∥AC，得出∠ACB′=∠CB′D=45°，進而即可求得∠ACB=45°；作AG⊥BC于G，根據解直角三角形即可求得BC；（2）作CG⊥AB′于G，通過解直角三角形求得CG= ，B′G= ，進而求得AG=2 ﹣ = ，設AE=CE=x，則EG= ﹣x，根據勾股定理即可求得x值，即AE的值，然后根據三角形的面積公式即可求得△AEC的面積；（3）先證得四邊形ACB′D是等腰梯形，根據等腰梯形的性質得出∠AB′C=∠CDA=30°，∠B′AD=∠DCB′=90°，設∠ADB′=∠CB′D=y，則∠AB′D=y﹣30°，根據∠AB′D+∠ADB′=90°，得出y﹣30°+y=90°，解得y=60°，進而求得∠AB′D=30°，通過解直角三角形即可求得BC．
【應用與探究】（1）如圖1，∵在ABCD中，∠B=30°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠AB′C=30°，
∵∠AB′D=75°，
∴∠CB′D=45°，
∵B′D∥AC，
∴∠ACB′=∠CB′D=45°，
∵∠ACB=∠ACB′，
∴∠ACB=45°；
作AG⊥BC于G，
∴AG=CG，
∵∠B=30°，
∴AG= AB= = ，
∴CG= ，BG= = ，
∴BC=BG+CG= ，
所以答案是：45°， ；

【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定的相關知識點，需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形才能正確解答此題．