Question

14．已知：如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間t（s），解答下列各問題：
（1）求△ABC的面積；
（2）當t為何值是，△PBQ是直角三角形？
（3）探究：是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五？如果存在，求出t的值；不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點A作AD⊥BC，根據勾股定理求出AD的長，利用三角形的面積公式進行解答即可；
（2）分兩種情況進行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°，然后在直角三角形BQP中根據BP，BQ的長和∠B的度數進行求解即可；
（3）先作QD⊥AB于D，根據∠BQD=30°，得到QD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，然后根據四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五，可得出一個關于t的方程，如果方程無解，則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．

解答 解：（1）如圖，過點A作AD⊥BC，則∠BAC=30°，
∵AC=4，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；

（2）設經過t秒，△PBQ是直角三角形，則AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=4cm，∠B=60°，
∴BP=（4-t）cm，
若△PBQ是直角三角形，則分兩種情況：
①當∠BQP=90°時，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（4-t），
解得t=$\frac{4}{3}$（秒），
②當∠BPQ=90°時，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
4-t=$\frac{1}{2}$t，
解得t=$\frac{8}{3}$（秒），
綜上所述，當t=$\frac{4}{3}$秒或$\frac{8}{3}$秒時，△PBQ是直角三角形；

（3）不存在這樣的t．
理由：如圖，作QD⊥AB于D，則∠BQD=30°，
∴QD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴△BQP的面積=$\frac{1}{2}$×BP×QD
=$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t
=$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²，
當四邊形APQC的面積是△ABC面積的$\frac{5}{8}$時，△BQP的面積是△ABC面積的$\frac{3}{8}$，
即$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²=$\frac{3}{8}$×4$\sqrt{3}$，
化簡得：t²-4t+6=0，
∵△=b²-4ac=16-4×1×6=-8＜0，
∴不存在這樣的t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查的是等邊三角形的性質、直角三角形的判定及三角形的面積公式的運用，根據題意作出輔助線構造直角三角形，利用數形結合思想進行求解是解答此題的關鍵．