Question

我們知道，矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形除了具備平行四邊形的一切性質還有其特殊的性質；同樣，黃金矩形是特殊的矩形，因此黃金矩形有與一般矩形不一樣的知識．
已知平行四邊形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．

（1）把所給的平行四邊形ABCD用兩種方式分割并作說明(見題答卡表格里的示例)；
要求：用直線段分割，分割成的圖形是學習過的特殊圖形且不超出四個．
（2）圖中關于邊、角和對角線會有若干關系或問題．現在請計算兩條對角線的長度．
要求：計算對角線BD長的過程中要有必要的論證；直接寫出對角線AC的長．
解：在表格中作答

分割圖形	分割或圖形說明
示例	示例①分割成兩個菱形。 ②兩個菱形的邊長都為a,銳角都為60°。

Answer 1

解：（1）在表格中作答：

分割圖形	分割或圖形說明
	①分割成兩兩個等腰梯形． ②兩個等腰梯形的腰長都為a， 上底長都為，下底長都為， 上底角都為120°，下底角都為60°。
	①分割成一個等邊三角形、一個等腰三角形、一個直角三角形． ②等邊三角形的邊長為a， 等腰三角形的腰長為a，頂角為120°． 直角三角形兩銳角為30°、60°，三邊為a、、2a．

（2） 如圖①，連接BD，取AB中點E，連接DE．

∵AB=2a，E為AB中點，∴AE=BE=a。，
∵AD=AE=a，∠A=60°，
∴△ADE為等邊三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a。
又∵∠BED+∠DEA=180°，
∴∠BED=180°－∠DEA=180°－60°=120°。
又∵DE=BE=a，∠BED=120°，∴∠BDE=∠DBE=（180°－120°）=30°。
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°。
∴Rt△ADB中，∠ADB=90°。
由勾股定理得：BD²+AD²=AB²，即BD²+a²=（2a）²，解得BD=。
AC=。

試題分析：（1）方案一：分割成兩個等腰梯形；
方案二：分割成一個等邊三角形、一個等腰三角形和一個直角三角形。
（2）利用平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理作答，認真計算即可。
對于AC，如圖②所示，

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