Question

平面直角坐標中，對稱軸平行于y軸的拋物線經過原點O，其頂點坐標為（3，）；Rt△ABC的直角邊BC在x軸上，直角頂點C的坐標為（，0），且BC=5，AC=3（如圖1）．

圖1                             圖2
（1）求出該拋物線的解析式；
（2）將Rt△ABC沿x軸向右平移，當點A落在（1）中所求拋物線上時Rt△ABC停止移動．D（0，4）為y軸上一點，設點B的橫坐標為m，△DAB的面積為s．
①分別求出點B位于原點左側、右側（含原點O）時，s與m之間的函數關系式，并寫出相應自變量m的取值范圍（可在圖1、圖2中畫出探求）；
②當點B位于原點左側時，是否存在實數m，使得△DAB為直角三角形?若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=x²﹣3x；
（2）①當點B位于原點左側時，S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），
當點B位于原點右側（含原點O）時，S=m+10．（0≤m＜﹣2），
②存在，m₁=﹣1，m₂=﹣4，m₃=﹣4.4．

試題分析：（1）根據拋物線頂點坐標為（3，﹣），利用頂點式求出即可；
（2）根據當點B位于原點左側時以及當點B位于原點右側（含原點O）時，分別分析即可得出答案．
試題解析：（1）由題意，設所求拋物線為y=a（x﹣3）²﹣．①
將點（0，0）代入①，得a=．
∴y=x²﹣3x；
（2）①當點B位于原點左側時，如圖（1）：
S=S_△OBD+S_梯形OCAD﹣S_△ABC=•4•（﹣m）+（4+3）（5+m）﹣=m+10．
∴S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），
當點B位于原點右側（含原點O）時，如圖（2）：
S=S_梯形OCAD﹣S_△OBD﹣S_△ABC=（4+3）（5+m）﹣•4•m﹣=m+10．
∴S=m+10．（0≤m＜﹣2）；
②m₁=﹣1，m₂=﹣4，m₃=﹣4.4．