Question

1．在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx-4經過A（-4，0），C（2，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，點B是拋物線與y軸交點．判斷有幾個位置能夠使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，然后把點A、B、C的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解即可；
（2）根據圖形的割補法，可得二次函數，根據拋物線的性質求出第三象限內二次函數的最值，然后即可得解；
（3）利用直線與拋物線的解析式表示出點P、Q的坐標，然后求出PQ的長度，再根據平行四邊形的對邊相等列出算式，然后解關于x的一元二次方程即可得解．

解答 解：（1）將A（-4，0），C（2，0）兩點代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b-4=0}\\{4a+2b-4=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$
所以此函數解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²+x-4；
（2）∵M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，
∴M點的坐標為：（m，$\frac{1}{2}$m²+m-4），
∴S=S_△AOM+S_△OBM-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$m²+m-4）+$\frac{1}{2}$×4×（-m）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-m²-2m+8-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4，
∵-4＜m＜0，
當m=-2時，S有最大值為：S=-4+8=4．
答：m=-2時S有最大值S=4． 
（3）∵點Q是直線y=-x上的動點，
∴設點Q的坐標為（a，-a），
∵點P在拋物線上，且PQ∥y軸，
∴點P的坐標為（a，$\frac{1}{2}$a²+a-4），
∴PQ=-a-（$\frac{1}{2}$a²+a-4）=-$\frac{1}{2}$a²-2a+4，
又∵OB=0-（-4）=4，
以點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴|PQ|=OB，
即|-$\frac{1}{2}$a²-2a+4|=4，
①-$\frac{1}{2}$a²-2a+4=4時，整理得，a²+4a=0，
解得a=0（舍去）或a=-4，
-a=4，
所以點Q坐標為（-4，4），
②-$\frac{1}{2}$a²-2a+4=-4時，整理得，a²+4a-16=0，
解得a=-2±2$\sqrt{5}$，
所以點Q的坐標為（-2+2$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$）或（-2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$）．
綜上所述，Q坐標為（-4，4）或（-2+2$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$）或（-2-2$\sqrt{5}$，2+2$\sqrt{5}$）時，使點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 本題考查了二次函數綜合題，有待定系數法求二次函數解析式；利用圖形割補法得出二次函數的最值問題是解題關鍵；平行四邊形的對邊相等的性質，平面直角坐標系中兩點間的距離的表示，綜合性較強，但難度不大，仔細分析便不難求解．