Question

16．如圖，直線y=-$\frac{3}{2}$x+6分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=-$\frac{1}{8}$x²+8，與y軸交于點D，點P是拋物線在第一象限部分上的一動點，過點P作PC⊥x軸于點C．

（1）點A的坐標為（4，0），點D的坐標為（0，8）；
（2）探究發現：
①假設P與點D重合，則PB+PC=10；（直接填寫答案）
②試判斷：對于任意一點P，PB+PC的值是否為定值？并說明理由；
（3）試判斷△PAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；
（2）①根據線段的和差，可得PB，可得答案；
②根據勾股定理，可得PB的長，根據線段和差，可得答案；
（3）根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得最大值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解答 解：（1）y=-$\frac{3}{2}$x+6當y=0時，x=4，即A（4，0），
y=-$\frac{1}{8}$x²+8當x=0時，y=8，即D點坐標（0，8），
故答案為：（4，0），（0，8）；
（2）①PB=PO-OB=8-6=2，PB+PC=8+2=10；
②是，理由如下：
過點P作PQ⊥y軸于點Q，
∵P在拋物線上，且在第一象限，
∴設P點坐標為（x，-$\frac{1}{8}$x²+8）．
則PQ=x，PC=-$\frac{1}{8}$x²+8．
當4≤x＜8時，PB=$\sqrt{{x}^{2}+[6-（-\frac{1}{8}{x}^{2}+8）]^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{64}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{8}$x²+2，
∴PB+PC=$\frac{1}{8}$x²+2+（-$\frac{1}{8}$x²）+8=10，
當0＜x＜4時，同理可得；
（3）存在．
設△PAB的面積為S．
由（2）假設．
當4≤x＜8時，有S=$\frac{（-\frac{1}{8}{x}^{2}+8+6）•x}{2}$-$\frac{4×6}{2}$-$\frac{（-\frac{1}{8}{x}^{2}+8）（x-4）}{2}$
=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13．
當0＜x＜4時，s=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13．
當x=6時，S_最大=13，y=-$\frac{1}{8}$×36+8=$\frac{7}{2}$，
∴△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時點P的坐標為（6，$\frac{7}{2}$）

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用勾股定理得出PB的長是解題關鍵；利用面積的和差得出二次函數是解題關鍵，又利用了二次函數的性質．