Question

【題目】在同一平面內，若一個點到一條直線的距離不大于1，則稱這個點是該直線的“伴侶點”．在平面直角坐標系中，已知點M（1，0），過點M作直線l平行于y軸．

（1）試判斷點A（－1，a）是否是直線l的“伴侶點”？請說明理由；

（2）若點P（2m－5，8）是直線l的“伴侶點”，求m的取值范圍；

（3）若點A（－1，a）、B（b，2a）、C（－，a－1）是平面直角坐標系中的三個點，將三角形ABC進行平移，平移后點A的對應點為D，點B的對應點為E，點C的對應點為F．若點F剛好落在直線l上，F的縱坐標為a+b，點E落在x軸上，且三角形MFD的面積為，試判斷點B是否是直線l的“伴侶點”？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A不是直線l的“伴侶點”；（2）m的取值范圍為：；（3）點B是直線l的“伴侶點”，理由見解析

【解析】

（1）求出點A到直線l的距離即可判斷；

（2）根據“伴侶點”的定義列出不等式求解即可

（3）根據平移的性質構建方程組求出a、b的值即可判斷；

解：（1）∵A（1，a），直線l：x＝1，

∴點A到直線l的距離為2，2＞1，

∴點A不是直線l的“伴侶點”．

（2）若點P（2m－5，8）是直線l的“伴侶點”，

則點P到一條直線的距離不大于1，

∴，

解得：，

故m的取值范圍為：.

（3）∵C（，a1）平移到點F（1，a＋b），

∴橫坐標加，縱坐標加b＋1，

∴D（，a＋b＋1），E（b＋，2a＋b＋1），

∵點E落在x軸上，

∴2a＋b＋1＝0，

∵三角形MFD的面積為，

∴|a＋b|＝，

∴a＋b＝±，

當a＋b＝時，解得a＝，b＝2，此時B（2，3），點B是直線l的“伴侶點”．

當a＋b＝時，a＝，b＝0，此時B（0，1），點B是直線l的“伴侶點”．