Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

（1）說明四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當∠B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）說明見解析；（2）當∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．理由見解析．

【解析】

試題（1）證明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判斷；

（2）當∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．根據直角三角形的性質，即可證得AC=EC，根據菱形的定義即可判斷．

（1）證明：由題意知∠FDC=∠DCA=90°，

∴EF∥CA，

∴∠FEA=∠CAE，

∵AF=CE=AE，

∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA．

在△AEC和△EAF中，

∵

∴△EAF≌△AEC（AAS），

∴EF=CA，

∴四邊形ACEF是平行四邊形．

（2）解：當∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．

理由如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴AC=AB，

∵DE垂直平分BC，

∴∠BDE=90°

∴∠BDE=∠ACB

∴ED∥AC

又∵BD=DC

∴DE是△ABC的中位線，

∴E是AB的中點，

∴BE=CE=AE，

又∵AE=CE，

∴AE=CE=AB，

又∵AC=AB，

∴AC=CE，

∴四邊形ACEF是菱形．