Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是對角線BD上任意一點（BE＞DE），CE的延長線交AD于點F，連接AE．

（1）求證：△ABE∽△FDE；

（2）當BE=3DE時，求tan∠1的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質得到AB=BC，∠ABE=∠CBE=∠FDE=45°，根據全等三角形的性質得到∠BAE=∠ECB，等量代換得到∠BAE=∠DFE，即可得到結論；
（2）連接AC交BD于O，設正方形ABCD的邊長為a，根據勾股定理得到BD=a，BO=OD=OC=a，根據已知條件得到OE=OD=a，然后根據三角函數的定義得到結論．

試題解析：（1）證明：在正方形ABCD中，

∵AB=BC，

∠ABE=∠CBE=∠FDE=45°，

在△ABE與△CBE中，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠ECB，

∵AD∥BC，∴∠DFE=∠BCE，

∴∠BAE=∠DFE，

∴△ABE∽△FDE；

（2）連接AC交BD于O，

設正方形ABCD的邊長為a，

∴BD=a，BO=OD=OC=a，

∵BE=3DE，

∴OE=OD=a，

∴tan∠1=tan∠OEC==2．