Question

【題目】如圖，是的直徑，點在的延長線上，、是上的兩點，，，延長交的延長線于點

（1）求證：是的切線；

（2）求證：

（3）若，，求弦的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，可證得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即結論得證；

（2）證明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，則CE=CF；

（3）證明△CBD∽△DCA，可求出DA的長，求出AB長，設BC=a，AC=a，則由勾股定理可得AC的長．

（1）連，

∵，

∴，

又，，

∴，

∵是的直徑，

∴，

∴，

，

∴，且過半徑的外端點，

∴是的切線；

（2）在和中，，

，為公共邊，

∴，

∴，又，

∴；

（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，

∴△CBD∽△DCA，

∴，

∴，

∴DA=2，

∴AB=AD-BD=2-1=1，

設BC=a，AC=a，由勾股定理可得：a2+(a)2＝12，

解得：a=，

∴AC＝．