Question

【題目】如圖，矩形中，與相交于點，，將沿折疊，點的對應點為，連接交于點，且，在邊上有一點，使得的值最小，此時（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

設BD與AF交于點M．設AB=a，AD=a，根據矩形的性質可得△ABE、△CDE都是等邊三角形，利用折疊的性質得到BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a=2，再證明CF=CD=2．作B點關于AD的對稱點B′，連接B′E，設B′E與AD交于點H，則此時BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角坐標系，得出B（3，2），B′（3，-2），E（0，），利用待定系數法求出直線B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用兩點間的距離公式求出BH=4，進而求出=．

如圖，設BD與AF交于點M．設AB=a，AD=a，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，tan∠ABD=，

∴BD=AC==2a，∠ABD=60°，

∴△ABE、△CDE都是等邊三角形，

∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，

∵將△ABD沿BD折疊，點A的對應點為F，

∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a，

在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，

∴GM=BG=1，BM=GM=，

∴DM=BD-BM=2a-，

∵矩形ABCD中，BC∥AD，

∴△ADM∽△GBM，

∴，即，

∴a=2，

∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2，AD=BC=6，BD=AC=4，

易證∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，

∴△ADF是等邊三角形，

∵AC平分∠DAF，

∴AC垂直平分DF，

∴CF=CD=2，

作B點關于AD的對稱點B′，連接B′E，設B′E與AD交于點H，則此時BH+EH=B′E，值最小．

如圖，建立平面直角坐標系，

則A（3，0），B（3，2），B′（3，-2），E（0，），

易求直線B′E的解析式為y=-x+，

∴H（1，0），

∴BH==4，

∴=．

故選：B．