Question

【題目】關于的一元二次方程有兩個整數根且乘積為正，關于的一元二次方程同樣也有兩個整數根且乘積為正，給出三個結論：①這兩個方程的根都負根；②；③，其中正確結論的個數是（ ）

A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個

Answer 1

【答案】D

【解析】

設方程的兩根為x1、x2，方程同的兩根為y1、y2．①根據方程解的情況可得出x1x2=2n＞0、y1y2=2m＞0，結合根與系數的關系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，進而得出這兩個方程的根都是負根，①正確；②由方程有兩個實數根結合根的判別式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，將（m-1）2+（n-1）2展開代入即可得出②正確；③根據根與系數的關系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，結合x1、x2、y1、y2均為負整數即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上即可得出結論．

設方程的兩根為x1、x2，方程同的兩根為y1、y2．

①∵關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正，

∴x1x2=2n＞0，y1y2=2m＞0，

∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，

∴這兩個方程的根都是負根，①正確；

②∵關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正，

∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，

∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，

∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正確；

③∵y1y2=2m，y1+y2=-2n，

∴2m-2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，

∵y1、y2均為負整數，

∴（y1+1）（y2+1）≥0，

∴2m-2n≥-1．

∵x1x2=2n，x1+x2=-2m，

∴2n-2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，

∵x1、x2均為負整數，

∴（x1+1）（x2+1）≥0，

∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．

∴-1≤2m-2n≤1，③成立．

綜上所述：成立的結論有①②③．

故選D．