Question

【題目】如圖，直線y＝5x＋5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c的圖象交x軸于另一點(diǎn)B.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接BC，點(diǎn)N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，作ND⊥x軸交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，求線段ND長度的最大值；

(3)若點(diǎn)H為二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M(4，m)是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點(diǎn)F、E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋4x＋5；(2);(3) F (，0)，E(0，)．

【解析】

（1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由一次函數(shù)的表達(dá)式求出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由二次函數(shù)的表達(dá)式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求一次函數(shù)BC的表達(dá)式，設(shè)ND的長為d，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-n+5，D點(diǎn)的坐標(biāo)為D（n，-n2+4n+5），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的最值計(jì)算可求線段ND長度的最大值；
（3）由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為H（2，9），點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（4，5），作點(diǎn)H（2，9）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H1，可得點(diǎn)H1的坐標(biāo)，作點(diǎn)M（4，5）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)HM1，可得點(diǎn)M1的坐標(biāo)連結(jié)H1M1分別交x軸于點(diǎn)F，y軸于點(diǎn)E，可得H1M1+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線H1M1解析式，根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)F、E的坐標(biāo)．

解：(1)∵直線y＝5x＋5交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，

∴A(－1，0)，C(0，5)，

∵二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋c的圖象過A，C兩點(diǎn)，

∴ ，

解得 ，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2＋4x＋5；

(2)如解圖①，

第2題解圖①

∵點(diǎn)B是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)，

∴由二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2＋4x＋5得，點(diǎn)B的坐標(biāo)B(5，0)，

設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋b，

∵直線BC過點(diǎn)B(5，0)，C(0，5)，

∴ ，

解得 ，

∴直線BC解析式為y＝－x＋5，

設(shè)ND的長為d，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，

則N點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，－n＋5)，

D點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，－n2＋4n＋5)，

則d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，

由題意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，

∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－)2＋，

∴當(dāng)n＝時(shí)，線段ND長度的最大值是；

（3）∵點(diǎn)M(4，m)在拋物線y＝－x2＋4x＋5上，

∴m＝5，∴M(4，5)．

∵拋物線y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為H(2，9)，

如解圖②，作點(diǎn)H(2，9)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H1，則點(diǎn)H1的坐標(biāo)為H1(－2，9)；作點(diǎn)M(4，5)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M1，則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為M1(4，－5)，連接H1M1分別交x軸于點(diǎn)F，y軸于點(diǎn)E，∴H1M1＋HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，則點(diǎn)F，E即為所求的點(diǎn)．

設(shè)直線H1M1的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx＋n，

∵直線H1M1過點(diǎn)H1(－2，9)，M1(4，－5)，

∴ ，

解得 ，

∴y＝－x＋，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，即點(diǎn)E坐標(biāo)為(0，)，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，即點(diǎn)F坐標(biāo)為(，0)，

故所求點(diǎn)F，E的坐標(biāo)分別為(，0)，(0，)．