Question

【題目】如圖1，拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸交于A（1,0），B（-3,0），與 y 軸交于C（0，3），頂點是G.
（1）求拋物線的的解析式及頂點坐標G.
（2）如圖1，點D（x，y）是線段BG上的動點（不與B，G重合），DE⊥x軸于E，設四邊形OEDC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求S的最大值.
（3）如圖2，將拋物線 y=ax2+bx+c 向下平移 k 個單位，平移后的頂點式 G' ，與 x 軸的交點是 A'，B' .若△A'B'G' 是直角三角形，求 k 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵與 x 軸的交點為A（1,0），B（-3,0），
∴設二次函數為 y=a(x+1)(x3)，
把C（0，3）代入 y=a(x+1)(x3)，
∴ a=-1 ，
∴ y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4.
∴G(-1，4).
（2）解：設直線BG解析式為 ：y=kx+b
∵B(3，0)，G(1，4) 在直線BG上，
∴，
∴，
∴ 直線BG解析式為：y=2x+6，
∴ D(x，2x+6)
∴ S===-x2-x （ 3<x<1 ），
當 x=-=-時，Smax=.
（3）解：設平移后的拋物線為 y=(x+1)2+m，
∴G'(-1,m)，A'（-1-，0），B'（-1+，0），
∴A'B'=2，B'G'=A'G'=，
∵△A'B'G'為直角三角形，
∴B'G'2+A'G'2=A'B'2，
∴m2m=0，
∴ m1=1 ， m2=0 （舍），
∴ y=(x+1)2+1，
∵由 y=(x+1)2+4 得到 y=(x+1)2+1
∴ 向下平移3個單位，
∴ k=3.
【解析】（1）根據題意可設二次函數為 y=a(x+1)(x3)，將C（0，3）代入 y=a(x+1)(x3)，從而求出拋物線解析式，即可得出頂點坐標.
（2）設直線BG解析式為 ：y=kx+b把B(3，0)，G(1，4) 代入即可得到一個二元一次方程組，解之即可得出直線BG解析式為：y=2x+6，從而表示D(x，2x+6)，再由S===-x2-x （ 3<x<1 ），由二次函數的性質得出當 x=-=-時，Smax=.
（3）設平移后的拋物線為 y=(x+1)2+m，根據題意得G'(-1,m)，A'（-1-，0），B'（-1+，0），A'B'=2，B'G'=A'G'=，
在Rt△A'B'G'中，由勾股定理得m2m=0，從而求出m值，即可得出k值.
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握二次函數圖象的平移(平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減)的相關知識才是答題的關鍵．