Question

【題目】閱讀材料并回答下列問題：

在平面直角坐標系 xOy 中， 點 P x, y 經過 f 變換得到點 P x, y ， 變換記作f x, y x, y， 其中，例如，當a=1，b=1時，則點（-1，2）經過f變換，，即.

（1）當 a 1， b 1時，則 f 0, 1 .

（2）若 f 2,3 4, 2 ，求 a 和b 的值.

（3）若象限內點 P x, y 的橫縱坐標滿足 y 3x ，點 P 經過 f 變換得到點 P x, y，若點 P 與點 P重合，求 a 和b 的值.

Answer 1

【答案】（1）（1，1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）將a＝1，b＝1，f（0，1）代入，可求x′，y′的值，從而求解；

（2）將f（2，3）＝（4，2）代入，可得關于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解；

（3）由點P（x，y）經過變換f得到的對應點P'（x'，y'）與點P重合，點P（x，y）在直線y＝3x上，可得f（x，y）＝（x，y），f（x，3x）＝（x，3x），得到關于a，b的二元一次方程組，解方程組即可求解．

解：（1）當a＝1，b＝1時，

x′＝1×0＋（1）×（1）＝1，y′＝1×0（1）×（1）＝1，

則f（0，1）＝（1，1）；

故答案為：（1，1）；

（2）∵f（2，3）＝（4，2），

∴ ，

解得；

（3）∵點P（x，y）經過變換f得到的對應點P'（x'，y'）與點P重合，

∴f（x，y）＝（x，y）．

∵點P（x，y）在直線y＝3x上，

∴f（x，3x）＝（x，3x）．

∴，

即，

∵x為任意的實數，

∴，

解得．