Question

【題目】如圖，在平行四邊形 ABCD中，AB 6cm ，BC 12cm ，B 30，點P 在 BC 上由點B向點C 出發，速度為每秒2cm；點Q 在邊AD上，同時由點 D 向點 A 運動，速度為每秒1cm ，當點 P 運動到點C時，P 、Q 同時停止運動，連接 PQ，設運動時間為t秒．

（1）當t為何值時四邊形 ABPQ 為平行四邊形？

（2）當t為何值時，四邊形 ABPQ 的面積是四邊形 ABCD 的面積的四分之三？

（3）連接 AP ，是否存在某一時刻t，使ABP 為等腰三角形？并求出此刻t的值．

Answer 1

【答案】（1）當時，四邊形是平行四邊形；（2）當時，四邊形的面積是四邊形的面積的四分之三；（3）存在，當或或時，為等腰三角形

【解析】

（1）利用平行四邊形的對邊相等得，建立方程求解即可；

（2）分別表示出四邊形ABPQ和四邊形ABCD的面積，利用面積關系即可求出；

（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質，兩腰相等建立方程求解即可得出結論．

解：（1）由P、Q的運動方式得：cm，cm，

∵當點P運動到點C時，P、Q同時停止運動，

∴，

在平行四邊形 ABCD中，BC 12cm，

∴cm，則cm，

若四邊形 ABPQ 為平行四邊形，

則，

即，解得：，

∴當時，四邊形是平行四邊形；

（2）如圖 1，過點作于，

在中，，cm，

cm，

四邊形是平行四邊形，BC 12cm，

∴cm2，

由（1）得：cm，cm，

∴S四邊形ABPQ=cm2，

若四邊形的面積是四邊形的面積的四分之三，

即，解得：，

∴當時，四邊形的面積是四邊形的面積的四分之三；

（3）存在某一時刻t，使為等腰三角形,

若為等腰三角形，則或或，

①當時，則cm，

即，解得：；

②當時， 如圖 2 ，過作垂直于，垂足為點，

∵，⊥，

∴cm，

，

∴cm，

則，解得：，

③當時，如圖3，

∵，，

∴E為BP中點，則BP=2BE，

在中，，cm，AE=3cm，

∴cm，cm，

則，解得：，

所以，當或或時，為等腰三角形．