Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積．
（3）直線l經過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側的部分上運動，直線m經過點B和點Q，是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：如圖1，連接BC，過Py軸的平行線，交BC于點M，交x軸于點H，

在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，

∴A點坐標為（﹣1，0），

∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，

∴S△ABC= ABOC= ×4×3=6，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC解析式為y=x﹣3，

設P點坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則M點坐標為（x，x﹣3），

∵P點在第四限，

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△PBC= PMOH+ PMHB= PM（OH+HB）= PMOB= PM，

∴當PM有最大值時，△PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，

∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，PMmax= ，則S△PBC= × = ，

此時P點坐標為（ ，﹣ ），S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+ = ，

即當P點坐標為（ ，﹣ ）時，四邊形ABP的面積最大，最大面積為 ；

（3）

解：如圖2，設直線m交y軸于點N，交直線l于點G，

則∠AGP=∠GNC+∠GCN，

當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB，

又∠AGB+∠CGB=180°，

∴∠AGB=∠CGB=90°，

∴∠ACO=∠OBN，

在Rt△AON和Rt△NOB中

∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），

∴ON=OA=1，

∴N點坐標為（0，﹣1），

設直線m解析式為y=kx+d，把B、N兩點坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線m解析式為y= x﹣1，

即存在滿足條件的直線m，其解析式為y= x﹣1

【解析】（1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；
（2）連接BC，則△ABC的面積是不變的，過P作PM∥y軸，交BC于點M，設出P點坐標，可表示出PM的長，可知當PM取最大值時△PBC的面積最大，利用二次函數的性質可求得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積；
（3）設直線m與y軸交于點N，交直線l于點G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB=90°，則可證得△AOC≌△NOB，可求得ON的長，可求出N點坐標，利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式．本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、二次函數的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質等．在（2）中確定出PM的值最時四邊形ABPC的面積最大是解題的關鍵，在（3）中確定出滿足條件的直線m的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是第（2）問和第（3）問難度較大．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用拋物線與坐標軸的交點和相似三角形的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．