Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC繞點A順時針旋轉到Rt△ADE的位置，點E在斜邊AB上，連結BD，過點D作DF⊥AC于點F．
（1）如圖1，若點F與點A重合，求證：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，
①如圖2，當點F在線段CA的延長線上時，判斷線段AF與線段BE的數量關系，并說明理由；
②當點F在線段CA上時，設BE=x，請用含x的代數式表示線段AF．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由旋轉得，∠BAC=∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD=90°，

∴∠BAC=∠BAD=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∴AC=CB．

（2）

解：①由旋轉得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠DAF=∠ABD，

∴∠DAF=∠ADB，

∴AF∥BB，

∴∠BAC=∠ABD，

∵∠ABD=∠FAD

由旋轉得，∠BAC=∠BAD，

∴∠FAD=∠BAC=∠BAD= ×180°=60°，

由旋轉得，AB=AD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，

在△AFD和△BED中，

，

∴△AFD≌△BED，

∴AF=BE，

②如圖，

由旋轉得，∠BAC=∠BAD，

∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，

由旋轉得，AD=AB，

∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，

∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，

∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，

∴∠BAD=36°，

設BD=x，作BG平分∠ABD，

∴∠BAD=∠GBD=36°

∴AG=BG=BC=x，

∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，

∵∠BDG=∠ADB，

∴△BDG∽△ADB，

∴ ．

∴ ，

∴ ，

∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，

∴△AFD∽△BED，

∴ ，

∴AF= x．

【解析】（1）由旋轉得到∠BAC=∠BAD，而DF⊥AC，從而得出∠ABC=45°，最后判斷出△ABC是等腰直角三角形；
　　　　（2）①由旋轉得到∠BAC=∠BAD，再根據∠DAF=∠DBA，從而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可；②根據題意畫出圖形，先求出角度，得到△ABD是頂角為36°的等腰三角形，再用相似求出， ，最后判斷出△AFD∽△BED，代入即可．此題是幾何變換綜合題，主要考查了，等腰直角三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，旋轉的性質，解本題的關鍵是求出頂角為36°的等腰三角形的腰與底的比值，也是本題的難點．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．