Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF=AD，過點D作DE⊥AF，垂足為點E
（1）求證：DE=AB；
（2）以A為圓心，AB長為半徑作圓弧交AF于點G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面積．（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠AED=90°=∠B，

在△ABF和△DEA中

，

∴△ABF≌△DEA（AAS），

∴DE=AB；

（2）

解：∵BC=AD，AD=AF，

∴BC=AF，

∵BF=1，∠ABF=90°，

∴由勾股定理得：AB= = ，

∴∠BAF=30°，

∵△ABF≌△DEA，

∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG= ，

∴扇形ABG的面積= = π．

【解析】（1）根據矩形的性質得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根據AAS推出△ABF≌△DEA即可；
　　　　（2）根據勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根據全等三角形的性質得出DE=DG=AB= ，∠GDE=∠BAF=30°，根據扇形的面積公式求出即可．本題考查了弧長公式，全等三角形的性質和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性質的應用，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵．
【考點精析】通過靈活運用矩形的性質和扇形面積計算公式，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）即可以解答此題．