Question

平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A、點B，與y軸的正半軸交于點C，點 A的坐標為（1，0），OB=OC，拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸上的點P滿足∠APB=∠ACB，求點P的坐標；
（3）在（1）的條件下，對于實數c、d，我們可用min{ c，d }表示c、d兩數中較小的數，如min{3，}=.若關于x的函數y = min{，}的圖象關于直線對稱，試討論其與動直線交點的個數。

Answer 1

（1）；（2）、；
（3）當時，動直線與函數圖象無交點；
當時，動直線與函數圖象有唯一的一個交點；
當時，動直線與函數圖象有兩個交點；
當時，動直線與函數圖象有三個交點；
當時，動直線與函數圖象有四個交點；
當時，動直線與函數圖象有三個交點；
當時，動直線與函數圖象有三個交點.

試題分析：（1）首先將已知的拋物線解析式進行配方，得出對稱軸方程后結合A點坐標可確定B點的坐標，由OB=OC的條件能得到C點坐標，利用待定系數法即可確定函數的解析式．
（2）此題需要進行適當轉化，首先作△ABC的外切圓，根據圓周角定理可知：P點應為拋物線對稱軸與⊙E的交點，那么只需求出圓心E的坐標和⊙E的半徑即可得到P點坐標．首先由A、B的坐標可確定F點的坐標以及AF的長，而弦BC的垂直平分線過點E，由此可確定該中垂線的解析式，進一步可確定點E的坐標；然后在Rt△AEF中，通過解直角三角形可得到圓的半徑長，由此求出全部條件；
（3）由題意可知所求得的函數的解析式為，由函數圖象分、、、、、、等情況分析.
（1）∵ ，
∴ 拋物線的對稱軸為直線．
∵ 拋物線與x軸交于
點A、點B，點A的坐標為，
∴ 點B的坐標為，OB＝3．
可得該拋物線的解析式為．
∵ OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點C，
∴ OC=3，點C的坐標為．
將點C的坐標代入該解析式，解得a=1．
∴ 此拋物線的解析式為．
（2）作△ABC的外接圓☉E，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為點F，設☉E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點為點，點關于x軸的對稱點為點，點、點均為所求點.

可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線上．
∵、都是弧AB所對的圓周角，
∴，且射線FE上的其它點P都不滿足．
由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線上．
∴ 點E的坐標為．
∴ 由勾股定理得 ．
∴ ．
∴ 點的坐標為．
由對稱性得點的坐標為．
∴符合題意的點P的坐標為、.
（3）由題意可知，原二次函數的解析式為可得，
所求得的函數的解析式為
由函數圖象可知：當時，動直線與函數圖象無交點；
當時，動直線與函數圖象有唯一的一個交點；
當時，動直線與函數圖象有兩個交點；
當時，動直線與函數圖象有三個交點；
當時，動直線與函數圖象有四個交點；
當時，動直線與函數圖象有三個交點；
當時，動直線與函數圖象有三個交點.
點評：這道二次函數題由于融合了圓、解直角三角形、軸對稱圖形等重點知識，難度較大；（2）中，將角相等轉化為圓的相關問題是打開解題突破口的關鍵，應注意并總結轉化思想在解題中的妙用．