Question

【題目】如圖，在等腰直角中，動點以每秒個單位長度的速度從點向終點運動，過點作于點以為鄰邊作與等腰直角的重疊部分面積為(平方單位)，，點的運動時間為秒．

（1）直接寫出點落在邊上時的值．

（2）求與的函數關系式

（3）直接寫出點分別落在三邊的垂直平分線上時的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或2或4

【解析】

（1）畫出圖形，根據題干條件，得出△AFP和△BPG是等腰直角三角形，表示出AP，PB，根據FQ=BG解出t值；

（2）分當點G在BC邊上以及BC左側時，當點G在BC右側時，兩種情況分別求出S和t的關系即可；

（3）分點G在AB、BC、AC的中垂線上求出t值即可.

解：（1）當點G落在BC邊上時，如圖，

∵AB=BC=8，∠B=90°，PF⊥AF，

∴在□APGF中，∠AFP=∠FPG=90°，

∴∠A=∠FPA=∠GPB=∠PGB=45°，

即△AFP和△BPG是等腰直角三角形，

∴AP=FG=2t，PB=BG=8-2t，

AP邊上的高FQ=BG=2t，

∴（8-2t）×2=2t，

解得：t=；

（2）當點G在BC邊上以及BC左側時，0≤t≤，

S的值為□APGF的面積，

△APF為等腰直角三角形，

∴△APF中AP邊上的高為t，

則S=2t2，

當點G在BC右側時，＜t≤4，

由題意可得：∠G=45°，∠NMG=90°，FQ=t，

∴△MNG是等腰直角三角形，

∴MN=MG=MB-NB=MB-PB=t-（8-2t）=3t-8，

S=S□APGF -S△MNG=2t×t-（3t-8）2=，

故S和t的函數關系式為：；

（3）當點G在AB邊的中垂線QH上時，

AH=4，

由題意可得：GH=PH=4-2t，

FM=AP=t，

∴4-2t=t，

解得t=；

當點G在AC邊的中垂線上時，

可知∠ABQ=45°，

∴△PBG為等腰直角三角形，

∴PB=PG=AF=AP，

∴AP=4，

∴t=2；

當點G在BC邊中垂線上時，

PQ=FM=AP，

則此時點P與點B重合，

∴t=4.

綜上所述：點分別落在三邊的垂直平分線上時，t的值為或2或4.