Question

【題目】如圖1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉．
（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①證明DM=DN；②在這一過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的；若不發生變化，求出其面積；
（2）繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）繼續旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出寫出結論，不用證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖1，連接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，

∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，

∴∠MDB=∠NDC，

∴△BMD≌△CND（ASA），

∴DM=DN；

②四邊形DMBN的面積不發生變化；

由①知△BMD≌△CND，

∴S△BMD=S△CND，

∴S四邊形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC= S△ABC= × = ；

（2）解：DM=DN仍然成立；

證明：如圖2，連接DB，在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC，∠BDC=90°，

∴∠DCB=∠DBC=45°，

∴∠DBM=∠DCN=135°，

∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，

∴∠CDN=∠BDM，

則在△BMD和△CND中， ，

∴△BMD≌△CND（ASA），

∴DM=DN．

（3）解：DM=DN．

【解析】（1）連接BD，證明△DMB≌△DNC．根據已知，全等條件已具備兩個，再證出∠MDB=∠NDC，用ASA證明全等，四邊形DMBN的面積不發生變化，因為它的面積始終等于△ABC面積的一半；（2）成立．同樣利用（1）中的證明方法可以證出△DMB≌△DNC；（3）結論仍然成立，方法同（1）．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和旋轉的性質是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．