Question

【題目】如圖，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分別是CA，CB邊的三等分點，將△ECF繞點C逆時針旋轉α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，連接AM，BN．
（1）求證：AM=BN；
（2）當MA∥CN時，試求旋轉角α的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分別是CA，CB邊的三等分點，

∴CE=CF，

根據旋轉的性質，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，

在△AMC和△BNC中，

，

∴△AMC≌△BNC，

∴AM=BN

（2）解：∵MA∥CN，

∴∠ACN=∠CAM，

∵∠ACN+∠ACM=90°，

∴∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠AMC=90°，

∴cosα= ．

【解析】（1）由CA=CB，E，F分別是CA，CB邊的三等分點，得CE=CF，根據旋轉的性質，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，證明△AMC≌△BNC即可；（2）當MA∥CN時，∠ACN=∠CAM，由∠ACN+∠ACM=90°，得到∠CAM+∠ACM=90°，所以cosα= = ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用旋轉的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．