Question

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小輝將邊長為和3的兩個(gè)正方形放置在直線l上，如圖1，他連結(jié)AD、CF，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)AD=CF．

（1）他將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2，試判斷AD與CF還相等嗎？說明你的理由；
（2）他將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線l上，如圖3，請(qǐng)你求出CF的長．

Answer 1

解：（1）AD=CF。理由如下：
在正方形ABCO和正方形ODEF中，∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF。
在△AOD和△COF中，∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF，
∴△AOD≌△COF（SAS）。
∴AD=CF。
（2）與（1）同理求出CF=AD，

如圖，連接DF交OE于G，則DF⊥OE，DG=OG=OE，
∵正方形ODEF的邊長為，∴OE=×=2。
∴DG=OG=OE=×2=1。
∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，，
∴CF=AD=。

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“邊角邊”證明△AOD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證。
（2）與（1）同理求出CF=AD，連接DF交OE于G，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OGOE，再求出AG，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AD。