Question

如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB邊上，取AE的中點F，CD的中點G，連結GF.

（1）FG與DC的位置關系是         ，FG與DC的數量關系是        ；
（2）若將△BDE繞B點逆時針旋轉180°，其它條件不變，請完成下圖，并判斷（1）中的結論是否仍然成立? 請證明你的結論.

Answer 1

（1）FG⊥CD ，FG=CD；（2）成立

試題分析：（1）延長ED交AC的延長線于M，連接FC、FD、FM，根據矩形的性質可得CM=BD，根據等腰直角三角形的性質可得ED=BD=CM，再結合∠E=∠A=45º可證得△AEM是等腰直角三角形，由F是AE的中點可證得MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º，即可證得△EFD≌△MFC，則可得FD=FC，∠EFD=∠MFC，又∠EFD＋∠DFM=90º即得∠MFC＋∠DFM=90º，即可得到△CDF是等腰直角三角形，從而可以證得結論；
（2）證法同（1）.
解：（1）FG⊥CD ，FG=CD；
（2）延長ED交AC的延長線于M，連接FC、FD、FM

∴四邊形 BCMD是矩形.
∴CM=BD.
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形.
∴ED=BD=CM.
∵∠E=∠A=45º
∴△AEM是等腰直角三角形.
又F是AE的中點.
∴MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º.
∴△EFD≌△MFC.
∴FD=FC，∠EFD=∠MFC.
又∠EFD＋∠DFM=90º
∴∠MFC＋∠DFM=90º
即△CDF是等腰直角三角形.
又G是CD的中點.
∴FG=CD，FG⊥CD.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.