Question

【題目】頂點(diǎn)為D的拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A、B(3，0)，交y軸于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+m經(jīng)過點(diǎn)C，交x軸于E(4，0)．

(1)求出拋物線的解析式；

(2)如圖1，點(diǎn)M為線段BD上不與B、D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，四邊形OCMN的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

(3)點(diǎn)P為x軸的正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線，交直線y＝﹣x+m于G，交拋物線于H，連接CH，將△CGH沿CH翻折，若點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在y軸上時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)S＝﹣(x﹣)2+；當(dāng)x＝時(shí)，S有最大值，最大值為；(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，0)或(，0).

【解析】

（1）將點(diǎn)E代入直線解析式中，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C、B代入拋物線解析式中，可求出拋物線解析式．

（2）將拋物線解析式配成頂點(diǎn)式，可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)直線BD的解析式，代入點(diǎn)B、D，可求出直線BD的解析式，則MN可表示，則S可表示．

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)G的坐標(biāo)可表示，點(diǎn)H的坐標(biāo)可表示，HG長度可表示，利用翻折推出CG＝HG，列等式求解即可．

（1）將點(diǎn)E代入直線解析式中，

0＝﹣×4+m，

解得m＝3，

∴解析式為y＝﹣x+3，

∴C(0，3)，

∵B(3，0)，

則有，

解得，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，

∴D(1，4)，

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，代入點(diǎn)B、D，

，

解得，

∴直線BD的解析式為y＝﹣2x+6，

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，﹣2x+6)，

∴S＝(3+6﹣2x)x＝﹣(x﹣)2+，

∴當(dāng)x＝時(shí)，S有最大值，最大值為．

(3)存在，

如圖所示，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，0)，

則點(diǎn)G(t，﹣t+3)，H(t，﹣t2+2t+3)，

∴HG＝|﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)|＝|t2﹣t|

CG＝＝t，

∵△CGH沿GH翻折，G的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，F落在y軸上，

而HG∥y軸，

∴HG∥CF，HG＝HF，CG＝CF，

∠GHC＝∠CHF，

∴∠FCH＝∠CHG，

∴∠FCH＝∠FHC，

∴∠GCH＝∠GHC，

∴CG＝HG，

∴|t2﹣t|＝t，

當(dāng)t2﹣t＝t時(shí)，

解得t1＝0(舍)，t2＝4，

此時(shí)點(diǎn)P(4，0)．

當(dāng)t2﹣t＝﹣t時(shí)，

解得t1＝0(舍)，t2＝，

此時(shí)點(diǎn)P(，0)．

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，0)或(，0)．