Question

【題目】拋物線（為常數，）經過點，且關于直線對稱，是拋物線與x軸的一個交點.有下列結論：①方程的一個根是x=-2；②若，則；③若時，方程有兩個相等的實數根，則；④若時，，則.其中正確結論的個數是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

拋物線經過點，且關于直線對稱，可得c=2， b=2a，將x=-2代入即可判斷①；根據函數的圖像及是拋物線與x軸的一個交點.且，得當x=1時y=3a+2，當x=2時y=8a+2，則可判斷②; 若時，方程為：,求出判別式大于零，則可判斷③；求出時，y的范圍，并使得其左右端點與的對應端點相等，即可判斷④.

解：∵拋物線經過點，且關于直線對稱，

∴根據拋物線的對稱性可得圖象經過（-2，0）且c=2；

∴方程的一個根是x=-2，故①正確；

∵拋物線的對稱軸是直線

∴-=-1，∴b=2a；

∴拋物線為：；

∵是拋物線與x軸的一個交點.且

∴當x=1時y=3a+2，當x=2時y=8a+2；

∴，故②正確；

∵若時，方程為：

∴，∵，∴

∴方程有兩個相等的實數根，故③正確；

∵拋物線的對稱軸是直線

∴當x=-1時y有最大值為：-a+2，且x=與x=的函數值相等，

∵拋物線開口向下，當x時，y隨x的增大而減小，

∴當x=0時，y的函數值為：2，

∵若時，，

∴-a+2=3，∴a=-1，故④正確；

故選：D．