Question

【題目】如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD．

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）試猜想BC，BD，BE三者之間的等量關系，并加以證明；

（3）若tan∠CED＝，⊙O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BC2＝BDBE，證明見解析；（3）5

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質易得OC⊥AB；即可得到證明；

（2）易得∠BCD＝∠E，又有∠CBD＝∠EBC，可得△BCD∽△BEC；故可得BC2＝BDBE；

（3）易得△BCD∽△BEC，BD＝x，由三角形的性質，易得BC2＝BDBE，代入數據即可求出答案．

（1）證明：如圖，連接OC，

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴OC⊥AB，

∴AB是⊙O的切線．

（2）解：BC2＝BDBE．

證明：∵ED是直徑，

∴∠ECD＝90°，

∴∠E+∠EDC＝90°．

又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC（OC＝OD），

∴∠BCD＝∠E．

又∵∠CBD＝∠EBC，

∴△BCD∽△BEC．

∴．

∴BC2＝BDBE．

（3）解：∵tan∠CED＝，

∴．

∵△BCD∽△BEC，

∴．

設BD＝x，則BC＝2x，

∵BC2＝BDBE，

∴（2x）2＝x（x+6）．

∴x1＝0，x2＝2．

∵BD＝x＞0，

∴BD＝2．

∴OA＝OB＝BD+OD＝3+2＝5．