Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，點E是CD上的一個動點（E不與D重合），過點E作EF∥AC，交AD于點F（當E運動到C時，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對折，點D的對應點是點G．設DE=x，△GEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為y．

（1）求CD的長及∠1的度數；
（2）若點G恰好在BC上，求此時x的值；
（3）求y與x之間的函數關系式，并求x為何值時，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

過點A作AH⊥BC于點H，

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，

∴AH=ABsinB=6× =3 ，

∵∠D=∠BCD=90°，

∴四邊形AHCD為矩形，

∴CD=AH=3 ，

∵ ，

∴∠CAD=30°，

∵EF∥AC，

∴∠1=∠CAD=30°

（2）

解：若點G恰好在BC上，如圖2，

由對折的對稱性可知Rt△FGE≌Rt△FDE，

∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°，

∴∠GEC=60°，

∵△CEG是直角三角形，

∴∠EGC=30°，

∴在Rt△CEG中，EC= EG= x，

由DE+EC=CD 得 ，

∴x=2

（3）

解：分兩種情形：

第一種情形：當 時，如圖3，

在Rt△DEF中，tan∠1=tan30°= ，

∴DF=x÷ = x，

∴y=S△EGF=S△EDF= = = ，

∵ ＞0，對稱軸為y軸，

∴當 ，y隨x的增大而增大，

∴當x=2 時，y最大值= × =6 ；

第二種情形：當2 ＜x≤3 時，如圖4，

設FG，EG分別交BC于點M、N，

（法一）∵DE=x，

∴EC= ，NE=2 ，

∴NG=GE﹣NE= = ，

又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，

∴MG=NGtan30°= ，

∴ =

∴y=S△EGF﹣S△MNG= =

∵ ，對稱軸為直線 ，

∴當2 ＜x≤3 時，y有最大值，且y隨x的增大而增大，

∴當 時， =9 ，

綜合兩種情形：由于6 ＜9 ；

∴當 時，y的值最大，y的最大值為9 ．

【解析】（1）如圖1，作輔助線AH⊥BC，AH的長就是CD的長，根據直角三角形中的特殊三角函數值可以求AH的長，即CD=AH=3 ，在直角△ACD中，求∠CAD=30°，由平行線的同位角相等可以得∠1=∠CAD=30°；（2）如圖2，由對折得：Rt△FGE≌Rt△FDE，則GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°，從而求得直角△GEC中，EC= x，根據DE+EC=CD 列式可求得x的值（3）分兩種情形：
第一種情形：當 時，如圖3，△GEF完全在四邊形內部分，重疊部分面積就是△GEF的面積；
第二種情形：當2 ＜x≤3 時，如圖4，重疊部分是△GEF的面積﹣△MNG的面積，所以要根據特殊的三角函數值求MG、NG的長，代入面積公式即可．
再根據兩種情形的最大值作對比得出結果．